机器学习中的相似性度量！

　　标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢？这里先复习点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，那么X的“标准化变量”表示为：

　　而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是：

　　标准化后的值 =? ( 标准化前的值? － 分量的均值 ) /分量的标准差

　　经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x2n)间的标准化欧氏距离的公式：

　　如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。

(2)Matlab计算标准化欧氏距离

例子：计算向量(0,2)两两间的标准化欧氏距离 (假设两个分量的标准差分别为0.5和1)

X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

D = pdist(X,'seuclidean',[0.5,1])

结果：

D =

??? 2.0000??? 2.0000??? 2.8284

?

6. 马氏距离(Mahalanobis Distance)

（1）马氏距离定义

?????? 有M个样本向量X1~Xm，协方差矩阵记为S，均值记为向量μ，则其中样本向量X到u的马氏距离表示为：

?

?????? 而其中向量Xi与Xj之间的马氏距离定义为：

?????? 若协方差矩阵是单位矩阵（各个样本向量之间独立同分布）,则公式就成了：

?????? 也就是欧氏距离了。

　　若协方差矩阵是对角矩阵，公式变成了标准化欧氏距离。

(2)马氏距离的优缺点：量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰。

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